НАУКОВО-ІНЖЕНЕРНИЙЦЕНТР ЛІНІЙНО-КАБЕЛЬНИХ СПОРУД

252110, Україна, Київ-110, вул.Солом’янська, 7а, а/с 814, тел.: (044)271-78-97, факс: (044) 276-8031
E-mail: katok@ukrpack.net

В. Б. Каток, М. О.Котенко, О. Б. Омецінська

Дослідженняграниць одномодової смуги частотоптичного хвилеводу з W-подібнимпрофілем діелектричноїпроникності

Плоскі світловоди з W-подібнимпрофілем діелектричноїпроникності порівняно іззвичайними діелектричнимихвилеводами тришарової структуриможуть забезпечити кращулокалізацію енергіїелектромагнітного поля,одномодовий режим роботи в більшширокому діапазоні параметрів тавиявляють інші властивості, якістановлять практичний інтерес дляпристроїв інтегральної оптики.Тому актуальними є детальнедослідження електродинамічниххарактеристик W-хвилеводу.

Діелектричні світловодиявляються базовим елементомінтегральної оптики таволоконно-оптичних ліній зв`язку(ВОЛЗ). Пристрої інтегральноїоптики на основі оптичниххвилеводів мають здебільшогоплоску структуру і призначаютьсядля вводу, виводу, перетворення тапередачі електромагнітноговипромінювання оптичногодіапазону; оптичні хвилеводикруглого поперечного перерізу увигляді скловолокназастосовуються в сучасних ВОЛЗ якспрямовуюче середовище дляпередачі інформації на далеківідстані. Діелектричні хвилеводніструктури мають також застосуванняпри виготовленнінапівпровідникових лазерів,надчутливих датчиків т. ін.Важливим є розробка таких структуріз поліпшеними характеристиками зогляду на забезпечення низькихенергетичних втрат випромінювання,широкої смуги робочих частот,мінімального спотворення сигналів,зручності виготовлення таексплуатації, – їх застосування всучасних високоінформативнихсистемах зв`язку і обробкиінформації може дати значнийекономічний ефект.

Особливий інтерес становитьодномодовий режим роботихвилеводу, за якого передачасигналу здійснюється посередньолише однієї моди і її інтерференціяз іншими модами хвилеводуусувається. Під модою хвилеводурозуміють деяку його первиннухвилеводну характеристику, – такамода поширюється з чітковизначеними фазовою і груповоюшвидкостями, поляризацією тарозподілом електромагнітноговипромінювання по поперечномуперерізу хвилеводу. Оптичнийхвилевід може напрямлятидискретний ряд мод, кількість якихзростає із зменшенням довжинихвилі. Конче потрібним для практикиє розробка хвилеводів ізодномодовим режимом в діапазоніякомога більших значень нормованоїчастоти, оскільки більш висока їївеличина дозволяє збільшитипоперечні розміри хвилеводу, що всвою чергу уможливлює збільшеннядопусків при стикуванніхвилеводів, спрощує уведення в нихвипромінювання та підвищуєінформаційну ємність хвилеводу [1].Певного зміщення смугиодномодового режиму в областьвищих значень нормованої частотиможна досягти відповідним виборомпрофілю діелектричної проникності(ПДП), який описує розподілдіелектричної проникності впоперечному перерізі хвилеводу.

Предмет нашого розгляду –дослідження границь одномодовогодіапазону частот плоскогоп`ятишарового симетричногохвилеводу зі східчастим ПДП, щосвоїм виглядом нагадує літеру W.Згідно роботі [1] такий хвилевід впорівнянні з тришаровим допускаєодномодовий режим в діапазонівищих значень нормованої частоти,кращу локалізаціюелектромагнітного поля основноїмоди в центральному хвилеведучомушарі, виявляє властивості фільтрамод і становить найбільшийпрактичний інтерес для пристроївінтегральної оптики. Спочаткувкажемо властивостіелектромагнітних хвиль, які можутьнапрямлятися плоским хвилеводом.

При поширенні монохроматичниххвиль вдовж плоского хвилеводу внапрямку осі z (рис. 1), відносноякої хвилевід є регулярним, тобтотовщина хвилеводу 2а в напрямкуосі х і розподіл e(х) діелектричної проникності(ДП) в його поперечному перерізі незалежать від координати z,вектори Е, Н напруженостейелектричного та магнітного полівможна записати у вигляді

(1)

Тут величини w , b є круговою частотою таподовжньою постійною поширенняхвилі, а амплітуди Е(х), Н(х)мають відповідно компоненти (Е_х,Е_у, Е_z), (Н_х,Н_у, Н_z).Зауважимо, що хвилевід вважаєтьсяплоским, якщо його ширина внапрямку осі у є значно більшоюпорівняно з товщиною 2а, – прицьому залежністю величин Е, Нвід змінної у можна нехтувати.

Рис. 1. Плоский хвилевід упоперечному перерізі

Для електромагнітного полявигляду (1) рівняння Максвелла, увипадку лінійного ізотропногодіелектричного середовища, завідсутності зарядів, струмівпровідності, сторонніх джерел тапостійного значення магнітноїпроникності (m = m ₀), дозволяютьроздільне існування хвиль –поперечно-електричних (ТЕ-моди) іпоперечно-магнітних (ТН-моди). Дляобох типів хвиль відмінні від нулякомпоненти амплітуд векторівнапруженостей електричного тамагнітного полів вказані на рис. 2а,2б. У випадку певного типу хвилікожні дві з цих компонентвиражаються простими формуламичерез третю, яка задовольняєвідповідному хвилевому рівняннюдля ТЕ- чи ТН-мод [1, 2].

Рис. 2. Хвилі поширюваніплоским хвилеводом у напрямі осі zа – поперечно-електричні(ТЕ-моди); б –поперечно-магнітні (ТН-моди

Виконання для хвилевого рівнянняграничних умов на границях розділудіелектричних середовищ, щополягають в неперервності дотичнихдо цих границь компонентівелектричного та магнітного полів,приводить до дисперсійногоспіввідношення f(w, b ) = 0 міжчастотою і подовжньою постійноюпоширення хвилі, яка напрямляєтьсяхвилеводом. Хвилеві рівняння дляТЕ- чи ТН-мод мають точний розв`язокчерез відомі аналітичні функціїлише для невеликого наборуконкретних розподілів e(х) відносної діелектричноїпроникності в поперечному перерізіхвилеводу [1, 2].

При дослідженні напрямлених модW-хвилеводу опишемо його ПДП e (х) трьомапараметрами (рис. 3):

2D = 1 – e ₃/e ₁(2)

характеризує міру підвищення ПДПв центральному шарі 1 хвилеводунад його рівнем в зовнішньому шарі 3(хвилевід з довільним ПДП моженапрямляти моди, якщо величина дпхоча б в деякій області йогосерцевини перевищує значення ДП взовнішньому оточуючомусередовищі);

(3)

є величиною провалу ПДП в шарі 2відносно рівня ПДП в зовнішньомушарі 3, – її величина обмеженанаступною умовою додатньогозначення дп

(4)

параметр а/b – відношеннякоординати х = а зовнішньоїграниці шару 2 з провалом ПДП докоординати х = b йоговнутрішньої границі і характеризуєвідносну товщину цього шару.Оскільки в зовнішньому шарі 3електромагнітне поле швидко спадаєза експонентою по координаті х,то товщина шару 3 не вказується.

Рис. 3. W-подібний профільдіелектричної проникності

Приведене в [1] дисперсійнеспіввідношення для ТЕ-модW-хвилеводу можна узагальнити навипадок ТН-мод і записати у такийспосіб

(5)

Тут величини V, В євідповідно нормованою частотою тафазовим параметром хвилеводу

(6)

де k = w /c– хвильове число, с – швидкістьсвітла у вільному просторі.Параметри h ₁₂, h ₂₃ і число Nприймають наступні значення:

(7)

для парних мод N=0, для непарних– N=1 (парні та непарні модимають місце для хвилеводів ізсиметричним ПДП, при цьому парниммодам відповідають розв`язкихвилевого рівняння, що є парнимифункціями координати х, а длянепарних мод ці розв`язки – непарні[1]; хвилевірівняння для ТЕ- і ТН-мод у випадкупостійного значення ДП в шарахспівпадають, – розрізняються лишеграничні умови, що врахованопараметром h _ij).

Співвідношення (5) можнарозглядати як трансцендентнерівняння відносно однієї з величин В,V при фіксованому значеннііншої (за умови граничногозменшення товщини шару 2 з проваломПДП (а/b®1) воно переходить у відому явнудисперсійну залежність V(B)симетричного тришаровогодіелектричного хвилеводу). Припостійному значенні нормованоїчастоти V рівняння (5) маєскінченну множину дискретнихкоренів для фазового параметра В,що взяті в порядку зростання їхзначень, із врахуванням змінивеличини V, складаютьсукупність дисперсійнихзалежностей відповідно парних інепарних мод B_2m(V),B_2m+1(V) (m=0, 1, 2,...)хвилеводу. Для напрямлених модзначення параметра В належатьпроміжку (0; 1). Покладаючи в (5) В=0,отримаємо рівняння для частотивідсічення V_{2m, c}, V_2m+1,c парних і непарних мод(значення частоти, за якоїз`являється дана мода):

(8)

(9)

Оскільки діапазон одномодовоюрежиму визначається частотамивідсічення V_{0, c}, V_1,c перших парної та непарноїмод, дослідимо їх значення,поклавши в рівняннях (8), (9) m = 0.

На рис. 4 показано графічнезнаходження першого кореня V_0,c , V_{1, c} кожного зрівнянь відповідно (8) і (9),записаного у вигляді у₁(х)= у₂(х). Значенняабсциси х точки перетинуграфіків у = у₁(х), у= у₂(х) доставляєвеличину шуканого кореня вказаногорівняння, тобто частоту відсіченнявідповідної моди. Нагадаємо, щовідмінність в значеннях частотвідсічення ТЕ- і ТН-мод зумовленавідповідним значенням параметра h ₁₂ (7). Згіднорисунку значення V_{1, c}частоти відсічення першої непарноїмоди, що обмежує діапазонодномодового режиму справа, єбільшим від її значення p/2 для відповідного тришаровогохвилеводу, який має однакову ізW-хвилеводом товщину 2bхвилеведучого шару (а/b ® 1). Величина V_{1, c}росте із збільшенням хоча б одногоіз параметрів g , а/b,що характеризують відповідновеличину провалу ПДП проміжногошару W-хвилеводу та товщину цьогошару, асимптотично наближаючисьдля а/b ® Ґ до свого граничногозначення arcctg яке завеликих значень g(обмежених однак нерівністю (4)) маловідрізняється від величини p . Можливість цьогограничного збільшення вдвічічастоти відсічення першої непарноїТЕ-моди за рахунок відповідноговибору параметрів ПДП акцентуєтьсяв роботі [1]. Продовження приведенихна рис. 4 графіків для х>p показує, що подібногограничного зміщення на величину p /2 зазнають частотивідсічення всіх ТЕ- і ТН-мод вищогопорядку.

Рис. 4. Графічнерозв’язування рівнянь для частотвідсікання V_{0, c} , V_{1, c}перших двох мод W-хвилеводу(синьою лінією зображено криву дляТЕ-мод, а зеленою – для ТН-мод;параметри ПДП: g = 5; a/b = 5; h ₁₂= 1, 3)

В результаті аналогічногоаналізу графічного розв`язаннярівняння (5) для фіксованих значень В> 0 можна дійти висновку, що всідисперсійні криві ТН-мод порівняноз ТЕ-модами зазнають зсуву вобласть вищих частот тим більшого,чим більшим є значення параметра 2D , оскільки їхрозділюваність спричиненавідмінністю від одиниці величин h _ij (7), вирази дляяких можна записати у вигляді

(10)

з домінуючим впливом першої з них.За значення 2D <<1відповідні дисперсійні криві дляТЕ- та ТН-мод практично співпадають(стають виродженими) і описуютьсядисперсійним співвідношенням (5)при h ₁₂=h ₂₃=1. В діапазонічастот (V_{0, c}; V_1,c) існує одна мода хвилеводу зфазовим параметром В₀(V),а ширина одномодової смуги частотвизначається різницею

h=V_{1, c}–V_0,c. (11)

У відомих публікаціях [1, 2, 3], колийшлося про частоту відсіченняосновної моди плоских симетричниххвилеводів, не порушувалосяпитання про можливість зсуву їївеличини від нулевого значення вдіапазон додатніх значень.Виявляється, що для W-хвилеводу цейефект проявляється за певнихзначень параметрів його ПДП івеличина згаданого зсуву може бутиістотною. Дійсно, аналізомприведених на рис. 4 графіківневажко встановити: ненульовезначення V_0,яcчастоти відсічення основної модимає місце, якщо кутові коефіцієнтидотичних до графіків монотоннозростаючих функцій у₁(х),у₂(х) в т. х=0задовольняють умові у'₂(0)>у'₁(0),яка з врахуванням (8) при m = 0,еквівалентна нерівності

h _12g (a/b–1)>1.(12)

За невеликих значень провалу ПДПв проміжному шарі W-хвилеводу ітовщини цього шару, коли має місценерівність протилежна (12), рівняння(8) для частоти відсічення V_0,cосновної моди на інтервалі [0; p /2[ має єдиний нульовийкорінь кратності 1. При збільшенніпринаймні однієї з величин g , а/b ліва частинаспіввідношення (12) стає рівноюодиниці і нульовий корінь рівняння(8) набуває третього порядкукратності (для записаного у виглядіf(V_0,c)=0 рівняння цееквівалентне умовам f(0) = f’'(0)= f"(0) = 0, за яких ряд Тейлорафункції f в околі точки V_0,c = 0 розпочинається з третьогостепеня величини V_{0, c} ).За подальшого збільшенняпараметрів g , а/b,коли починає виконуватисянерівність (12), вказаний нульовийкорінь знову стає простим, але віднього відгалужуються відмінні віднуля корені рівні за модулем іпротилежні за знаком. Аналізуючиграфічно рівняння (5) за фіксованихзначень В>0, можна встановити,що з-посеред цих трьох коренів самедодатній корінь відповідає частотівідсічення V_0,cосновної моди. Згідно рис. 4величина V_0,c зростаєіз збільшенням хоча б одного ізпараметрів g , а/b,асимптотично наближаючись для a/b® Ґдо граничної величини arctg,яка за великих значень gмало відрізняється від p/2.

На рис. 5 вказані графіки величинизсуву частот відсічення V_0,c,V_1,c перших двох модW-хвилеводу відносно їх значеньвідповідно 0 і p /2 длятришарового симетричногохвилеводу в залежності відпараметра g провалуПДП за фіксованих значень величини а/b,що характеризує ширину провалу. Увипадку ТН-мод значення параметра D складало 0,01923. Вдіапазоні значень нормованихчастот 0 Ј V Ј p / 2 (вертикальнавісь) містяться криві, щовідповідають частоті відсічення V_0,cосновної моди, а в діапазоні p / 2 Ј V Ј p – частотівідсічення V_1,c першоїнепарної моди. Значення а/bвказане для кожної пари кривих,одна з яких відповідає ТН-моді(суцільна лінія), а інша – ТЕ-моді(пунктир). Для значень цьогопараметра 2 та 5 відповідні криві увипадку частоти V_1,cпрактично співпадають. Кожна криваз діапазону VI (0;p /2) відсікає нагоризонтальній осі граничнезначення параметра gпровалу ПДП, лівіше якого згідно (12)частота V_0,c відсіченняосновної моди має нульове значення.

Рис. 5. Графікизалежностей зсуву частотвідсікання V_0,c та V_1,cосновної та першої непарних мод-хвилеводу від провалу ПДП g при сталому значенніпараметра товщини шару з провалом(синьою лінією зображено криві дляТЕ-мод, а зеленою – для ТН-мод D = 0,01923)

Як видно з рисунку, за високихзначень g різниця міжчастотами V_0,cвідсічення ТЕ- і ТН-мод досягаєсуттєвих значень, особливо длямалих значень а/b. Це зумовленотим, що для великих значень g згідно (10) величина h ₁₂ значновідрізняється від 1 (для g=5 і 2D =0,03846 маємо h ₁₂ = e₁/e ₂ » 1,3). При цьому,оскільки h ₁₂ >1, то у відповідності з (12) дляфіксованого а/b ненульовезначення відсічення основної модиу випадку ТН-хвиль порівняно зТЕ-хвилями має місце за меншоївеличини g , – цейефект істотно проявляється дляблизьких до 1 значень а/b івідповідно великих g. За великої товщини шару з проваломПДП (а/b і 2) зсуввеличини V_{0, c} в областьдодатніх значень з ростом g досить інтенсивний івже для g »2 досягає значення близького до 1.

Область між кожною пароювідповідних кривих на рис. 5 длявеличин V_{0, c} та V_1,c (а/b = const) за одного ітого ж значення параметра g відповідає ширині h(11) одномодового режиму (як вжезазначалося, одномодовий режим маємісце за умови виродженості ТЕ- іТН-мод, коли значення параметрів 2D , gневеликі). За фіксованого значення а/bширина h одномодової смугичастот W-хвилеводу є більшою від їїзначення p /2 длявідповідного тришаровогохвилеводу і росте із збільшеннямпараметра g провалуПДП до деякого максимальногозначення, яке досягається за умови

. (13)

Це значення g єграничним, за якого частотавідсічення V_{0, c} має всеще нульове значення. З подальшимростом g значення h(11) зменшується, асимптотичнонаближаючись до p /2,оскільки величина V_{0, c}>0росте інтенсивніше в порівнянні звеличиною V_1,c. Згаданемаксимальне значення h_maxобмежене величиною p. Зазначимо, що за умови обмеженостіпараметра gформальною оцінкою (4) величина а/bзгідно (13) не може бути як-завгодноблизькою до 1, але розрахунки увипадку ТЕ-мод показують, що для g = 4 і а/b = 1,2 величина h_maxвже складає » 2.65.

Таким чином, за даної величини а/bнайбільше значення ширини hодномодової смуги частот має місцепри значенні параметра gпровалу ПДП, яке задовольняєспіввідношенню (13), і ця величиназбігається із значенням V_{1, c}частоти відсічення першої непарноїмоди.

Враховуючи допустимі проміжкизміни величин V_{0, c} іV_{1, c}, та асимптотичнуповедінку тангенса гіперболічногоза великих значень аргументу, можнаотримати для цих величинапроксимуючі вирази, що дають гарненаближення в певному діапазоніреальної зміни параметрів ПДПW-хвилеводу:

V_{0, c»} arctg(14)

для а/b і 2, (a/b-1)g і 2;

(15)

для а/b і 2,

Розкладаючи тангенситригонометричний і гіперболічний вряд за степенями їх аргументів таобмежуючись трьома членами кожногоз цих розкладів, з рівняння (8) длянаближення ненульових значеньчастоти відсічення V_0,cосновної моди можна отриматидодаткову формулу, справедливу вбільш широкому діапазоні змінипараметрів

(16)

для h ₁₂(a/b-1)g >1.

ефект зсуву частоти відсіченняосновної моди від нулевогозначення в діапазон додатніхзначень, досліджений тут у випадкуплоского W-хвилеводу, дляволоконних W-хвилеводів круглогопоперечного перерізу описаний вмонографії [3], де приводитьсянаближена умова цього зсуву,аналогічна отриманій наминерівності (12) при h ₁₂=1,якщо в ній формально покласти

а/b=r₂²/r₁².(17)

Тут r₁,r₂ євідповідно радіусом центральногошару та зовнішнім радіусомкільцевого шару з провалом ПДП, прицьому вказаний на рис. 3 ПДПплоского W-хвилеводу має місцетакож для круглого хвилеводу, якщовеличина х відповідаєрадіальній координаті R точки Мйого поперечного перерізу. зврахуванням цього надамо умові (12)наглядного тлумачення у випадку яккруглого так і плоского хвилеводу.

Для волоконних світловодів існуєпоняття об`єму ПДП [2]

(18)

де величина (1-f) пропорційнапідвищенню (f<1) чи заниженню (f>1)ПДП відносно його рівня в оболонці

(19)

і інтегрування здійснюється запоперечним перерізом хвилеводу.

Обчислена за формулою (18) дляволоконного хвилеводу з W-подібнимПДП (рис. 3) величина об`єму профілюмає значення

Тому, згідно умові (12) (зврахуванням (17) та для h₁₂=1) зсув частоти відсіченняосновної моди в область додатніхзначень для круглого W-хвилеводумає місце, якщо величина об’ємуйого ПДП від`ємна.

Для плоского хвилеводуінтегральна характеристика ПДПвигляду (18) пропорційна різницівеличин обмежених ПДП площ, щознаходяться відповідно над і підйого рівнем в зовнішньому шаровіхвилеводу (рис. 3). Зсув частотивідсічення V_{0, c}основної моди хвилеводу зW-подібним профілем має місце, якщоця різниця від`ємна. За однаковоїтовщини шару з провалом ПДП, длякруглого W-хвилеводу порівняно зплоским критичне значенняпараметра g величинипровалу ПДП, при якому наступаєвказаний зсув частоти відсіченняосновної моди, є меншим.

Очевидно, що і для градієнтнихплоских симетричних та волоконниххвилеводів матиме місцедосліджений тут ефект зсувучастоти відсічення основної моди вобласть додатніх значень за певноїумови щодо параметрів їх ПДП, якатакож пов`язана з деякоюінтегральною характеристикою типу(18), – це потребує окремого аналізу.Доцільним є також дослідженняхвилеводних структур, щовикористовують вказаний ефект тарозділюваність ТЕ- і ТН-модплоского хвилеводу, яка дляW-подібних ПДП може бути істотною.

* * *

Для плоских світловодів з W-подібним ПДП, які становлять основний практичний інтерес для пристроїв інтегральної оптики, встановлено зміщення частоти відсічення основної моди від нулевого значення в діапазон додатніх значень. Знайдено та обґрунтовано точну умову цього зміщення, як для ТЕ- так і для ТН-мод, і його граничне значення.

Вперше показано, що для плоского W-хвилеводу розділюваність дисперсійних кривих ТЕ- та ТН-мод може бути істотною, навіть за малих значень параметра 2D малоспрямованості хвилеводу.

Одержано наближені вирази для границь одномодового режиму W-хвилеводу, що апроксимують значення частот відсічення перших двох мод в широкому діапазоні реальної зміни параметрів його ПДП.

Вперше показано, що за однакової товщини шару з провалом ПДП для волоконного W-хвилеводу в порівнянні з плоским зсув частоти відсічення основної моди в діапазон додатніх значень відбувається за меншого значення величини провалу ПДП.

 

Література

1. Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов.–М.: Мир, 1984.-512 с.
2. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов.–М.: Радио и связь, 1987.-656 с.
3. Унгер Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы.–Мир.: Мир, 1980.-656 с.