НАУКОВО-ІНЖЕНЕРНИЙЦЕНТР ЛІНІЙНО-КАБЕЛЬНИХ СПОРУД

252110, Україна, Київ-110, вул.Солом’янська, 7а, а/с 814, тел.: (044)271-78-97, факс: (044) 276-8031
E-mail: katok@ukrpack.net

В. Б. Каток, М. О.Котенко, О. Б. Омецінська

Способипідвищення ефективності та оцінкиточності методу стратифікаціїаналізу градієнтних діелектричнихсвітловодів

Анотація

Пропонуються способи підвищенняефективності методу стратифікаціїаналізу градієнтних оптичниххвилеводів та оцінки точностіцього методу. Апроксимаціяреального градієнтного профілюдіелектричної проникностісвітловоду багатосхідчастимпрофілем вписаним та описанимнавколо реального, з рівномірнимкроком зміни діелектричноїпроникності, доставляє двостороннюоцінку точності при наближеномурозрахунку дисперсійнихзалежностей світловоду методомстратифікації.

За фіксованого значення Nкількості шарів апроксимуючоїмоделі “оптимальною”, в розуміннінайменшої похибки розрахованихдисперсійних залежностей,виявилась апроксимація з постійнимкроком зміни діелектричноїпроникності в шарах і при тому така,за якої значення "об’ємів"(площ) нормованого профілюдіелектричної проникностіапроксимуючої багатошаровоїмоделі та реального світловодуспівпадають. Пропозиціїреалізуються на прикладі плоскогосиметричного світловоду здіелектричними границями.

Отримані асимптотичні формулидля дисперсійних залежностейосновної моди плоских світловодівз трикутним та урізанимпараболічним профілямидіелектричної проникності.

Вступ

Діелектричні світловоди маютьшироке застосування вширокосмугових лініях передачі, вдатчиках різноманітних фізичнихвеличин, активних та пасивнихпристроях інтегральної оптики. Востанньому випадку оптичніхвилеводи (ОХ) мають переважноплоску структуру. ОХ круглогопоперечного перерізу у виглядіскловолокна застосовуються вволоконно-оптичних лініях зв'язку.

Для створення високошвидкіснихсистем передачі та нових пристроївінтегральної оптики необхіднарозробка ОХ з поліпшенимиелектродинамічнимихарактеристиками. Останні залежатьвід профілю діелектричноїпроникності (ПДП), якийхарактеризує розподілдіелектричної проникності (ДП) впоперечному перерізі ОХ. РеальніПДП мають плавний характер, щозумовлено технологію виготовленняОХ. Прикладами таких технологій єіонна імплантація та дифузія.

Детальний аналіз хвилеводнихвластивостей ОХ базується нарозв’язанні крайової задачі дляхвилевих рівнянь, що одержуються зрівнянь Максвелла. В загальномувипадку довільного ПДП не існуєточного розв’язку цієї задачінавіть в її наближеній постановці.

Серед існуючих наближенихметодів розв’язання зазначеноїзадачі отримав широке застосуваннятак званий метод стратифікації.Метод полягає в заміні реального ОХз відомим розподілом ДП e(x) моделлю багатошаровоїструктури з постійним значенням ДПв кожному шарі і використаннііснуючого точного розв’язкухвилевого рівняння для одноріднихшарів з врахуванням граничних умовна границі розділу шарів. Намипропонуються способи підвищенняефективності та оцінки точностіцього методу. Пропозиціїреалізуються на прикладі плоскогосиметричного світловоду здіелектричними границями (ДПзовнішніх шарів, що охоплюютьцентральну частину ОХ, постійна;цей параметр за аналогією зволоконним світловодомпозначається далі через e_cl), хоча вони справедливіі у випадку несиметрії, в тім числідля світловодів з металевоюграницею (ідеальний метал), а такожу випадку волоконних світловодів(ВС).

Постановказадачі

Для електромагнітних хвиль, щорозповсюджуються в напрямку zвдовж осі плоского хвилеводу зтовщиною 2a (рис. 1), вигляду

,

рівняння Максвелла допускаютьроздільне існування хвиль –поперечно-електричних (ТЕ-моди) іпоперечно-магнітних (ТН-моди).Відмінні від нуля компонентиамплітуд E(x), H(x) циххвиль (рис. 1) знаходяться здиференціального рівняння (ДР) таспіввідношень

. (1)

ТЕ-моди:.

ТН- моди:.

Тут величини m ₀,e ₀ , є відповідно магнітною таелектричною проникностями,хвилевим числом у вільномупросторі, а величина e(x) відносної ДП повинна бутидиференційовною функцією при |x|Ј a для ТН-мод.Функція поля F_p(x) награниці різних діелектричнихсередовищ задовольняє умовам

(2)

Коли параметр 2D = (e _max – e _cl)/e_max достатньо малий (D << 1; e _max– максимальне значеня ДП всерцевині), що здебільшого маємісце на практиці, крайові задачідля ТЕ- та ТН-мод співпадають.

Рис. 1. Схематичнезображення поперечного перерізуплоского хвилеводу і його ТЕ-,ТН-мод

Метод стратифікації [1]наближеного розв’язання задачі (1),(2) полягає в заміні реального ОХ звідомим розподілом ДП e(x) моделлю багатошаровоїструктури з постійним значенням ДПв кожному шарі (у випадку ОХкруглого і некруглого перерізу –моделлю циліндричних шарів). Прицьому ДР для функції поля в шарахстає найпростішим з відомоюсистемою базисних розв'язків.Послідовне виконання для цихрозв'язків умов вигляду (2) награницях між шарами приводить донаближеного рівняння власнихзначень початкової крайової задачі(характеристичного рівняння), якеза фіксованого значення хвилевогочисла k має скінченну множинудискретних коренів для подовжньоїпостійної розповсюдження b , – кількість l цихкоренів і їхні значення b_l зростають зізбільшенням k. Залежність b _l(k) для l-тогоза порядком кореня є дисперсійноюхарактеристикою (ДХ) l-тої модисвітловоду, – звичайно вонабереться у вигляді залежності B(V)безрозмірного фазового параметрахвилеводу B О [0,1 [ від нормованої частоти V і 0 (фазові криві)

. (3)

Знаходження ДХ B(V)дозволяє після цього знайтирозподіл електромагнітного поля вперерізі ОХ і його основніхвилеводні характеристики.

При аналізі ОХ із застосуваннямметоду стратифікації розподіл ДП вйого поперечному перерізі зручнозаписати в формі

e (x ) = e _max(1 – 2D (1 –j(x )), (4)

де j (x) – неперервна на відрізку |x | ? 1 (x = x/a) функція,значення якої пропорційневідхиленню ДП e (x ) від значення e _cl в зовнішніхшарах, рівного величині 1 – 2D . Функція j(x ) відображає ПДП внормованому вигляді. Якщо ОХзамінюється багатошаровою моделлю,то реальний ПДП (функція j(x )) апроксимуєтьсябагатосхідчастим профілем(східчастою функцією j_j (x ), j = 1, 2..., N), – при цьомучисло шарів N, значення ДП вкожному шарі і товщина шарівпідбираються так, щоб похибкарезультатів наближеногорозрахунку ДХ була якомога меншою.

"Оптимальна"апроксимація ПДП та оцінкаточності розрахунку ДХ

В результаті застосування методустратифікації до аналізусвітловодів з різною формою ПДПнами встановлено, що методапроксимації ПДП впливає наточність розрахунку ДХ в значнобільшій мірі, ніж вибір кількості Nшарів апроксимуючої моделі. Зафіксованого значення N“оптимальною”, в розуміннінайменшої похибки розрахованих ДХ,виявилася апроксимація, рівномірназа значеннями ДП в шарах і при томутака, за якої алгебраїчне значенняобмеженої на відрізку |x| Ј 1 апроксимуючимсхідчастим профілем j_j(x ) площіплоскої фігури близьке довідповідного значення S площікриволінійної трапеції, обмеженоїграфіком функції j (x ) для реальногопрофілю; для круглих ОХ –“оптимальною” є апроксимація зпостійним кроком ДП в циліндричнихшарах, що наближено відповідаєоднаковому значенню W“об'єму профілю” багатошаровоїмоделі і реального хвилеводу:

. (5)

Тут r – характернийрозмір поперечного перерізуоптичного волокна.

Для розрахованої, при заданійкількості N шарів, ДХ кожної l-тоїмоди (l = 0, 1... ) встановленоіснування нерівності

(6)

де значення фазового параметра і отримані в результатірівномірних апроксимацій за e , які відповідалибагатосхідчастому ПДП вписаному вреальний профіль і описаномунавколо нього.

Чисельні розрахунки показали, щоза відсутності зламів ПДП всерцевині (функція j (x ) неперервнодиференційовна) нерівність (6) маємісце також для точного розв'язку B(V)@ B_opt(V)і, таким чином, може бути оцінкоюточності методу стратифікації.

В таблиці 1 приводяться взагальній формі алгоритмиапроксимацій ПДП на кожномупроміжку [x 0, x N] монотонноїповедінки ДП, які дозволяютьотримати двосторонню оцінкуточності розрахунку ДХ методомстратифікації та розрахувати їх знайменшою похибкою, за заданогочисла апроксимуючих шарів.

Таблиця 1

Аналізрезультатів розрахункудисперсійних характеристик

Як конкретні приклади, наведеморезультати наближених розрахунківДХ ТЕ-мод плоских ОХ з параболічнимта трикутним ПДП. Для цих випадківіснують точні розв’язки хвилевогорівняння, що можна використати дляоцінки точності наближеногометоду. ПДП апроксимувавсясхідчастим профілем трьомазапропонованими способами (табл. 1).

Точний розв’язок хвилевогорівняння (1) для ТЕ-мод і відповіднехарактеристичне рівняння у випадкутрикутного ПДП (j (x ) =1 – x )виражається через функції Ейрі, апараболічного (j (x ) = x 2) –функцію Кумера M(A; b; z)(вироджена гіпергеометричнафункція). Зважаючи на помилки,виявлені нами в роботах, щонаводять точний розв’язок увипадку параболічного профілю,вкажемо отримані нами функцію поля F(x ) та характеристичнерівняння f(V, B) = 0 дляточного розв’язку з метоюпорівняння з ними одержанихметодом стратифікації чисельнихрезультатів.

Таблиця 2

З врахуванням асимптотичноїповедінки функції Кумера при z ® 0 і z ®Ґ [3], одержуємонаближені вирази для ДХ основної ТЕ₀-моди(V ® 0) і всіх ТЕ-мод (V)® Ґ

B » 4V2/9,V ® 0; B » 1 – (2l + 1)/V,l = 0, 1? , V ® Ґ .

Тут останнє наближення –наслідок того, що кореніхарактеристичного рівняння при V® Ґспівпадають з нулями гама-функцій G (A), G (A+ 0.5). Звідси одержуємо значеннячисла ТЕ-мод, що напрямляються ОХ начастоті V: Nmodes »(V – 1)/2.

На рис. 2 дані графікидисперсійних залежностей, отриманііз застосуванням трьох способівапроксимації профілю (табл. 1), N=15.

Рис. 2. Моди ОХ зпараболічним і трикутним ПДП.Пунктирні лінії відповідають“оптимальній” апроксимації, асуцільні лінії, що їх охоплюють, –вписаному профілю (нижня крива) іописаному (верхня крива); точномурозв’язку відповідають суцільнілінії.

Як видно з рис. 2, дисперсійнікриві точного розв’язку ірозв’язку за методомстратифікації з “оптимальною”апроксимацією, у випадкупараболічного ПДП, графічноспівпадають (N = 15). Зважаючи наце, наводимо тут графік відносноїпохибки (рис. 3) для різних значеньчисла N апроксимуючих шарів. Водномодовій смузі нормованихчастот (V < 2,26311) похибка неперевищує значення 0,2 %, N = 30.

Рис. 3. Відносна похибкарозрахунку ДХ методомстратифікації для різного числа N апроксимуючихшарів (параболічний ПДП)

Для ОХ з трикутним ПДП в околічастоти відсічення мод точнийрозв’язок відхиляється віднаближеного через те, що в цьомуоколі B? ? (V) < 0,тобто точні ДХ випуклі, – цесуттєво проявляється у випадкуТЕ0-моди майже в усій одномодовійобласті, для якої, виходячи засимптотики функцій Ейрі при V ® 0, можна отриматинаближений вираз B »0.5 V ^2/3. Зазначенаособливість поведінки перших модпояснюється зламом трикутногопрофілю – реальні ПДП не маютьзламів, а метод стратифікації,компенсуючи цей ефект, як і іншінаближені методи (метод степеневихрядів, варіаційний метод),приводить до ДХ із звичайноюввігнутістю. На практицівиготовити світловід з ідеальнимтрикутним профілем неможливо, томувказана особливість поведінки ДХскладає теоретичний інтерес.

Запропоновані способиапроксимації ПДП застосовні, порядз розглянутими плоскими і круглимиОХ, також і у випадку інших формпоперечного перерізу ОХ. Їх можнаобгрунтувати математично якіснимдослідженням відомогостаціонарного виразу дляподовжньої постійноїрозповсюдження [1], з врахуванняммалої залежності розподілу полямоди від ПДП.

Висновки

1. Встановлено, що спосіб апроксимації ПДП впливає на точність розрахунку ДХ методом стратифікації в значно більшій мірі, ніж вибір кількості N шарів апроксимуючої моделі.
2. За фіксованого значення N “оптимальною”, в розумінні найменшої похибки розрахованих ДХ, є апроксимація з постійним кроком по e і при тому така, за якої значення "об’ємів" (площ) ПДП апроксимуючої багатошарової моделі та реального світловоду співпадають.
3. Чисельні розрахунки показали, що за відсутності зламів ПДП в серцевині нерівність (6) має місце також для точного розв'язку B(V) @ B_opt(V) і, таким чином, може бути оцінкою точності методу стратифікації.
4. За використання "оптимальної" апроксимації, в одномодовій смузі нормованих частот (V < 2,26311) у випадку урізаного параболічного ПДП похибка розрахунку дисперсійних залежностей не перевищує значення 0,2 % (N = 30).
5. Отримані асимптотичні формули для дисперсійних залежностей основної моди плоских світловодів з трикутним та урізаним параболічним профілями діелектричної проникності.

Література

1. Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов. Пер. с англ.– М.: Мир, 1984.
2. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов: Пер. с англ.– Радио и связь, 1987.
3. Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds) (1972) Handbook of Mathematical Functions, Dover, N. Y.